SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 13
3 La divisibilidad 1 Matemáticas 1º ESO Múltiplos de un número Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales  Como sabes:  5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55 Cada vez que  multiplicas 5  por cualquier número se obtiene otro número que es  múltiplo de 5 . Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4  44 no es múltiplo de 5 , pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues:  0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... 0  es múltiplo de todos los números
3 La divisibilidad 2 Matemáticas 1º ESO Divisores de un número Un número es  divisor  de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta.  44 : 5   no es exacta 44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11  es divisor  de 44 5  no es divisor  de 44 Divisor y factor  significa lo mismo . Observa: 44 : 4 = 11 44 = 4 · 11  44 = 4 · 11  4 es divisor de 44 44 es producto de los factores 4 y 11 44 es múltiplo de 4 y de 11 (También 11 es divisor de 44) Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
3 La divisibilidad 3 Matemáticas 1º ESO Cálculo de todos los divisores de un número Un número puede tener varios divisores Por ejemplo: 18 tiene por divisores a  1,  2,  3,  6,  9  y  18  Para hallar todos los divisores de un número: Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1. Se termina cuando se repitan los factores. Ejemplo: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 1 y 45 son factores 3 y 15 son factores 45 = 5 · 9 5 y 9 son factores 45 = 9 · 5 Se repiten los factores Los divisores de 45 son:  1,  3,  5,  9,  15  y  45 Compruébalo Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
3 La divisibilidad 4 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues  24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues  72 = 9 · 8. Un  criterio de divisibilidad  es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro.  ¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir? No es necesario, pues la suma de las cifras  de 29058,  2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio.
3 La divisibilidad 5 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 2, por 5 y por 10 Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado  por la cifra de las unidades. Luego: 170 8  es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10. Ejemplos: 28 0   es divisible por 10, y por 5, y por 2. 1039 5  es divisible por 5. Observa: 438 = 43 · 10 + 8 10 es divisible por 2, por 5 y por 10 Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8 Como 8 es divisible por 2,  438 es divisible por 2.  Como 8 no es divisible por 5 ni por 10,  438 tampoco lo es. Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0. 232451  no  es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
3 La divisibilidad 6 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 4, por 25 y por 100 Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 17 80  es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100. Ejemplos: 28 00   es divisible por 100, por 25 y por 4. 103 75  es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100. Observa: 13528 = 135 · 100 + 28 100 es divisible por 4, por 25 y por 100 Luego, 13528 será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28. Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4.   Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, 13528 no es divisible por 25 ni por 100. 232451  no  es divisible por 4, ni por 25 ni por 100. 135 · 100 + 25 = 13525  es divisible por 25, pues 25 lo es. 135 · 100 + 100 = 13600  es divisible por 100, por 25 y por 4. Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras .
3 La divisibilidad 7 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad por 3 y por 9 Ejemplos: Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 3.  a)  1428  es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es  1  +  4  +  2  +  8  = 15,  y 15 es divisible por 3. Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 9.  Ejemplo: 5643  es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es  5  +  6  +  4  +  3  = 18 , y 18 es divisible por 9. Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto. 50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9 b)   1429  no  es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
3 La divisibilidad 8 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 11 Para saber si un número es divisible por 11: Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares  y los impares en la escritura del número. Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número dado es divisible por 11. Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues : 7 0 9 1 8 1 Cifras pares: 7  +  9  +  8  =  24 Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2 Diferencia: 24  - 2 =  22 La división  44968 : 11  es exacta. 44968 es múltiplo de11. Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares:  4  4  9  6  8 Las cifras  pares  suman:  4 + 6 =   10 Las cifras  impares  suman:  4  +  9  +  8  = 21 21 – 10 = 11
3 La divisibilidad 9 Matemáticas 1º ESO Números primos y compuestos 17 sólo tiene dos divisores:  1  y  17.  Cuando un número tiene más de dos divisores se llama  compuesto. Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1,  3,  5,  9,  15  y  45  43 también tiene sólo dos divisores:  1 y 43 Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama  primo. Los primeros números primos son : 2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  79  83  89  97  101  103  107  109 En cambio: Los números 17 y 43 son primos. 45  y 18 son números compuestos
3 La divisibilidad 10 Matemáticas 1º ESO Descomposición de un número en sus factores primos Para descomponer un número en  factores primos: Se divide el número por un factor primo. Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se  repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1. El número es igual al producto de los factores primos por los  que se ha ido dividiendo. Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos: 132 = 2 ·  66 66  =  2 ·33 = 2 ·  2 · 33 33  =  3·11 = 2 · 2 ·  3 · 11 Disposición práctica 132 2 66 2 33 3 11 11 1 A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos  Comprueba que  360 = 2 3  · 3 2  · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360. Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos. = 2 2  · 3 · 11
3 La divisibilidad 11 Matemáticas 1º ESO El máximo común divisor: m.c.d. El  máximo común divisor  de varios números es  el mayor de sus divisores comunes.  Consideremos los números 30 y 18.  Divisores de 30: 1  2  3   5  6   15  30 Divisores de 18: 1   2  3   6   9  18  Divisores comunes son:  1,  2,  3  y  6   El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Escribimos:  m.c.d(30 y 18) = 6 El mayor de ellos es el 6. Para calcularlo  se descompone cada número en sus factores primos: 30 =  2 · 3  · 5  18 =  2 · 3  · 3 = 2 · 3 2   Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. 2 · 3 = 6
3 La divisibilidad 12 Matemáticas 1º ESO El mínimo común múltiplo: m.c.m. El  mínimo común múltiplo  de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero.  Consideremos los números 35 y 25.  Múltiplos de 35: 0  35  70  105  140  175   210 …  350  … 525, ...   Múltiplos de 25: 0  25  50  75  100  125  150  175   …  350  …  525, ...  Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ... El  mínimo común múltiplo  de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Escribimos:  m.c.m(35 y 25) = 175 Factores comunes: 5 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 5 2  · 7 = 175 Factores no comunes: 7 El menor de ellos, excluido el 0, es 175 35 = 5 · 7 25 = 5 2
3 La divisibilidad 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo del m.c.d y del m.c.m. Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600. 780 2 390 2 195 3 65 5 13 Los descomponemos en factores primos: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 1 13 1 5 m.c.d.(780, 600) = 2 2  · 3 · 5 = 60  m.c.m.(780, 600) = 2 3  · 3 · 5 2  ·13 = 7800 Factores comunes:  2  3  5  Menor exponente respectivo:  2,  1  y  1 Mayor exponente respectivo:  3,  1  y  2  Factores no comunes:  13 600 2 780 = 2 2  · 3 · 5 · 13 600 = 2 3  · 3 · 5 2 Máximo común divisor:  Mínimo común múltiplo:  Factores comunes:  2  3  5  780 = 2 2  · 3 · 5 · 13 600 = 2 3  · 3 · 5 2

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (19)

Criterios de-divisibilidad - 2º
Criterios de-divisibilidad - 2º Criterios de-divisibilidad - 2º
Criterios de-divisibilidad - 2º
 
Reglas de divisibilidad
Reglas de divisibilidadReglas de divisibilidad
Reglas de divisibilidad
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
Criterios de divisibilidad mat 200_2012
Criterios de divisibilidad mat 200_2012Criterios de divisibilidad mat 200_2012
Criterios de divisibilidad mat 200_2012
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
6 Divisibilidad
6  Divisibilidad6  Divisibilidad
6 Divisibilidad
 
Divisibilidad (repaso)
Divisibilidad (repaso)Divisibilidad (repaso)
Divisibilidad (repaso)
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
Criterios de divisibilidad
Criterios de divisibilidadCriterios de divisibilidad
Criterios de divisibilidad
 
Criterio de divisibilidad 3,6,9
Criterio de divisibilidad 3,6,9Criterio de divisibilidad 3,6,9
Criterio de divisibilidad 3,6,9
 
Criterios de divisibilidad
Criterios de divisibilidadCriterios de divisibilidad
Criterios de divisibilidad
 
Divisibilidad
DivisibilidadDivisibilidad
Divisibilidad
 
1quincena2
1quincena21quincena2
1quincena2
 
Practica escrita de numeros primos y compuestos.
Practica escrita de numeros primos y compuestos.Practica escrita de numeros primos y compuestos.
Practica escrita de numeros primos y compuestos.
 
Multiplosydivisores
MultiplosydivisoresMultiplosydivisores
Multiplosydivisores
 
Múltiplos y Divisores
Múltiplos y Divisores Múltiplos y Divisores
Múltiplos y Divisores
 
Multiplos y divisores
Multiplos y divisoresMultiplos y divisores
Multiplos y divisores
 

Similar a Matemáticas 1o ESO: La divisibilidad

2.los números enteros libro elio
2.los números enteros libro elio 2.los números enteros libro elio
2.los números enteros libro elio Elio33
 
Resumen de los numeros naturales unidad2 lorna
Resumen de los numeros naturales  unidad2 lornaResumen de los numeros naturales  unidad2 lorna
Resumen de los numeros naturales unidad2 lornaandresmil
 
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)gchiock
 
Multiplos y divisores
Multiplos y divisoresMultiplos y divisores
Multiplos y divisoresSandra Bustos
 
Multiplos y divisores
Multiplos y divisoresMultiplos y divisores
Multiplos y divisoresSandra Bustos
 
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOS
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOSMÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOS
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOSLali Piñeiro Castilla
 
Divisibiliad
DivisibiliadDivisibiliad
Divisibiliadjcremiro
 
Multiplos divisores
Multiplos divisoresMultiplos divisores
Multiplos divisoresSusana
 

Similar a Matemáticas 1o ESO: La divisibilidad (20)

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE 5º
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE 5ºMÚLTIPLOS Y DIVISORES DE 5º
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE 5º
 
2.los números enteros libro elio
2.los números enteros libro elio 2.los números enteros libro elio
2.los números enteros libro elio
 
La divisibilidad
La divisibilidadLa divisibilidad
La divisibilidad
 
Multiplosydivisores
MultiplosydivisoresMultiplosydivisores
Multiplosydivisores
 
Resumen de los numeros naturales unidad2 lorna
Resumen de los numeros naturales  unidad2 lornaResumen de los numeros naturales  unidad2 lorna
Resumen de los numeros naturales unidad2 lorna
 
Multiplos y Divisores
Multiplos y DivisoresMultiplos y Divisores
Multiplos y Divisores
 
Múltiplo divisores
Múltiplo divisoresMúltiplo divisores
Múltiplo divisores
 
Múltiplos divisores.
Múltiplos divisores. Múltiplos divisores.
Múltiplos divisores.
 
Matematica quinto
Matematica quintoMatematica quinto
Matematica quinto
 
La divisibilidad
La divisibilidadLa divisibilidad
La divisibilidad
 
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)
 
Guia 1 numeros
Guia 1 numerosGuia 1 numeros
Guia 1 numeros
 
Multiplos y divisores
Multiplos y divisoresMultiplos y divisores
Multiplos y divisores
 
Multiplos y divisores
Multiplos y divisoresMultiplos y divisores
Multiplos y divisores
 
05-10-2023 DIVISIBILIDAD.pdf
05-10-2023 DIVISIBILIDAD.pdf05-10-2023 DIVISIBILIDAD.pdf
05-10-2023 DIVISIBILIDAD.pdf
 
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOS
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOSMÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOS
MÚLTIPLOS y DIVISORES- PRESENTACIÓN CONTENIDOS
 
Divisibiliad
DivisibiliadDivisibiliad
Divisibiliad
 
Multiplos divisores
Multiplos divisoresMultiplos divisores
Multiplos divisores
 
Tema4 001
Tema4 001Tema4 001
Tema4 001
 
Conjuntos de Números
Conjuntos de NúmerosConjuntos de Números
Conjuntos de Números
 

Más de Matemolivares1

Eclipse híbrido de sol 2013
Eclipse híbrido de sol 2013Eclipse híbrido de sol 2013
Eclipse híbrido de sol 2013Matemolivares1
 
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticas
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticasExamen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticas
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticasMatemolivares1
 
13 matemáticas ccss soljun
13 matemáticas ccss soljun13 matemáticas ccss soljun
13 matemáticas ccss soljunMatemolivares1
 
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.20132013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013Matemolivares1
 
Exposicion vicente escudero
Exposicion vicente escuderoExposicion vicente escudero
Exposicion vicente escuderoMatemolivares1
 
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011Matemolivares1
 
Contraste hipótesis con solución(sm)
Contraste hipótesis con solución(sm)Contraste hipótesis con solución(sm)
Contraste hipótesis con solución(sm)Matemolivares1
 
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividad
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividadEjercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividad
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividadMatemolivares1
 
La distribución normal
La distribución normalLa distribución normal
La distribución normalMatemolivares1
 
Ejercicios selectividad muestras
Ejercicios selectividad muestrasEjercicios selectividad muestras
Ejercicios selectividad muestrasMatemolivares1
 
El rostro humano de las matemáticas
El rostro humano de las matemáticasEl rostro humano de las matemáticas
El rostro humano de las matemáticasMatemolivares1
 
Ejercicios de selectividad probabilidad
Ejercicios de selectividad probabilidadEjercicios de selectividad probabilidad
Ejercicios de selectividad probabilidadMatemolivares1
 
Problemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoProblemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoMatemolivares1
 
Problemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoProblemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoMatemolivares1
 
Sistemas de ecuaciones 2 de eso
Sistemas de ecuaciones 2 de esoSistemas de ecuaciones 2 de eso
Sistemas de ecuaciones 2 de esoMatemolivares1
 
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011Matemolivares1
 

Más de Matemolivares1 (20)

Arquímedes
ArquímedesArquímedes
Arquímedes
 
Eclipse híbrido de sol 2013
Eclipse híbrido de sol 2013Eclipse híbrido de sol 2013
Eclipse híbrido de sol 2013
 
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticas
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticasExamen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticas
Examen selectividad septiembre 2013-andalucía-matemáticas
 
Superluna junio 2013
Superluna  junio 2013Superluna  junio 2013
Superluna junio 2013
 
13 matemáticas ccss soljun
13 matemáticas ccss soljun13 matemáticas ccss soljun
13 matemáticas ccss soljun
 
13 mat ccss-exjun
13 mat ccss-exjun13 mat ccss-exjun
13 mat ccss-exjun
 
13 soljun (2)
13 soljun (2)13 soljun (2)
13 soljun (2)
 
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.20132013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013
2013 junio pau matemáticas ii. 19.06.2013
 
Exposicion vicente escudero
Exposicion vicente escuderoExposicion vicente escudero
Exposicion vicente escudero
 
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011
Exámenes matemáticas selectividad andalucía 2011
 
Contraste hipótesis con solución(sm)
Contraste hipótesis con solución(sm)Contraste hipótesis con solución(sm)
Contraste hipótesis con solución(sm)
 
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividad
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividadEjercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividad
Ejercicios de-contrastesde-hipotesis-selectividad
 
La distribución normal
La distribución normalLa distribución normal
La distribución normal
 
Ejercicios selectividad muestras
Ejercicios selectividad muestrasEjercicios selectividad muestras
Ejercicios selectividad muestras
 
El rostro humano de las matemáticas
El rostro humano de las matemáticasEl rostro humano de las matemáticas
El rostro humano de las matemáticas
 
Ejercicios de selectividad probabilidad
Ejercicios de selectividad probabilidadEjercicios de selectividad probabilidad
Ejercicios de selectividad probabilidad
 
Problemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoProblemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer grado
 
Problemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer gradoProblemas y ecuaciones de primer grado
Problemas y ecuaciones de primer grado
 
Sistemas de ecuaciones 2 de eso
Sistemas de ecuaciones 2 de esoSistemas de ecuaciones 2 de eso
Sistemas de ecuaciones 2 de eso
 
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
Ecuaciones 2ºgrado 2ºeso-2011
 

Matemáticas 1o ESO: La divisibilidad

  • 1. 3 La divisibilidad 1 Matemáticas 1º ESO Múltiplos de un número Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales Como sabes: 5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55 Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro número que es múltiplo de 5 . Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4 44 no es múltiplo de 5 , pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... 0 es múltiplo de todos los números
  • 2. 3 La divisibilidad 2 Matemáticas 1º ESO Divisores de un número Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. 44 : 5 no es exacta 44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44 5 no es divisor de 44 Divisor y factor significa lo mismo . Observa: 44 : 4 = 11 44 = 4 · 11 44 = 4 · 11 4 es divisor de 44 44 es producto de los factores 4 y 11 44 es múltiplo de 4 y de 11 (También 11 es divisor de 44) Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel.
  • 3. 3 La divisibilidad 3 Matemáticas 1º ESO Cálculo de todos los divisores de un número Un número puede tener varios divisores Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18 Para hallar todos los divisores de un número: Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1. Se termina cuando se repitan los factores. Ejemplo: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 1 y 45 son factores 3 y 15 son factores 45 = 5 · 9 5 y 9 son factores 45 = 9 · 5 Se repiten los factores Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 Compruébalo Los factores aparecidos son todos los divisores del número.
  • 4. 3 La divisibilidad 4 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8. Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro. ¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir? No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio.
  • 5. 3 La divisibilidad 5 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 2, por 5 y por 10 Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado por la cifra de las unidades. Luego: 170 8 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10. Ejemplos: 28 0 es divisible por 10, y por 5, y por 2. 1039 5 es divisible por 5. Observa: 438 = 43 · 10 + 8 10 es divisible por 2, por 5 y por 10 Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8 Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2. Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es. Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0. 232451 no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10.
  • 6. 3 La divisibilidad 6 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 4, por 25 y por 100 Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 17 80 es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100. Ejemplos: 28 00 es divisible por 100, por 25 y por 4. 103 75 es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100. Observa: 13528 = 135 · 100 + 28 100 es divisible por 4, por 25 y por 100 Luego, 13528 será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28. Como 28 es divisible por 4, 13528 es divisible por 4. Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, 13528 no es divisible por 25 ni por 100. 232451 no es divisible por 4, ni por 25 ni por 100. 135 · 100 + 25 = 13525 es divisible por 25, pues 25 lo es. 135 · 100 + 100 = 13600 es divisible por 100, por 25 y por 4. Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras .
  • 7. 3 La divisibilidad 7 Matemáticas 1º ESO Criterios de divisibilidad por 3 y por 9 Ejemplos: Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 3. a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 1 + 4 + 2 + 8 = 15, y 15 es divisible por 3. Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 9. Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es 5 + 6 + 4 + 3 = 18 , y 18 es divisible por 9. Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto. 50067 es divisible por 9 (y por 3). 78105 es divisible por 3, pero no por 9 b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16.
  • 8. 3 La divisibilidad 8 Matemáticas 1º ESO Divisibilidad por 11 Para saber si un número es divisible por 11: Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares en la escritura del número. Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número dado es divisible por 11. Ejemplo: 709181 es múltiplo de 11, pues : 7 0 9 1 8 1 Cifras pares: 7 + 9 + 8 = 24 Cifras impares: 0 + 1 + 1 = 2 Diferencia: 24 - 2 = 22 La división 44968 : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11. Distingamos en 44968 las cifras pares y las impares: 4 4 9 6 8 Las cifras pares suman: 4 + 6 = 10 Las cifras impares suman: 4 + 9 + 8 = 21 21 – 10 = 11
  • 9. 3 La divisibilidad 9 Matemáticas 1º ESO Números primos y compuestos 17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17. Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto. Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43 Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama primo. Los primeros números primos son : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103 107 109 En cambio: Los números 17 y 43 son primos. 45 y 18 son números compuestos
  • 10. 3 La divisibilidad 10 Matemáticas 1º ESO Descomposición de un número en sus factores primos Para descomponer un número en factores primos: Se divide el número por un factor primo. Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1. El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo. Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos: 132 = 2 · 66 66 = 2 ·33 = 2 · 2 · 33 33 = 3·11 = 2 · 2 · 3 · 11 Disposición práctica 132 2 66 2 33 3 11 11 1 A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos Comprueba que 360 = 2 3 · 3 2 · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360. Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos. = 2 2 · 3 · 11
  • 11. 3 La divisibilidad 11 Matemáticas 1º ESO El máximo común divisor: m.c.d. El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Consideremos los números 30 y 18. Divisores de 30: 1 2 3 5 6 15 30 Divisores de 18: 1 2 3 6 9 18 Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6 El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. Escribimos: m.c.d(30 y 18) = 6 El mayor de ellos es el 6. Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos: 30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3 2 Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. 2 · 3 = 6
  • 12. 3 La divisibilidad 12 Matemáticas 1º ESO El mínimo común múltiplo: m.c.m. El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero. Consideremos los números 35 y 25. Múltiplos de 35: 0 35 70 105 140 175 210 … 350 … 525, ... Múltiplos de 25: 0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ... Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, 525 ... El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175 Factores comunes: 5 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 5 2 · 7 = 175 Factores no comunes: 7 El menor de ellos, excluido el 0, es 175 35 = 5 · 7 25 = 5 2
  • 13. 3 La divisibilidad 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo del m.c.d y del m.c.m. Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600. 780 2 390 2 195 3 65 5 13 Los descomponemos en factores primos: 300 2 150 2 75 3 25 5 5 1 13 1 5 m.c.d.(780, 600) = 2 2 · 3 · 5 = 60 m.c.m.(780, 600) = 2 3 · 3 · 5 2 ·13 = 7800 Factores comunes: 2 3 5 Menor exponente respectivo: 2, 1 y 1 Mayor exponente respectivo: 3, 1 y 2 Factores no comunes: 13 600 2 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2 Máximo común divisor: Mínimo común múltiplo: Factores comunes: 2 3 5 780 = 2 2 · 3 · 5 · 13 600 = 2 3 · 3 · 5 2